Програма НМТ з математики

Дійсні числа (натуральні, раціональні та ірраціональні), порівняння чисел та дії з ними

• властивості дій з дійсними числами
• правила порівняння дійсних чисел
• ознаки подільності чисел на 2, 3, 5, 9, 10
• правила знаходження найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного чисел
• правила округлення цілих чисел і десяткових дробів
• означення кореня n-го степеня та арифметичного кореня n-го степеня
• властивості коренів
• означення степеня з натуральним, цілим та раціональним показниками, їх властивості
• числові проміжки
• модуль дійсного числа та його властивості

Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі

• відношення, пропорції
• основна властивість, пропорції
• означення відсотка
• правила виконання відсоткових розрахунків

Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення

• означення тотожно рівних виразів, тотожного перетворення виразу, тотожності
• означення одночлена та многочлена
• правила додавання, віднімання й множення одночленів та многочленів
• формули скороченого множення
• розклад многочлена на множники
• означення дробового раціонального виразу
• правила виконання дій з дробовими раціональними виразами
• означення та властивості логарифма
• основна логарифмічна тотожність
• означення синуса, косинуса, тангенса числового аргументу
• основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу
• формули зведення
• формули додавання та наслідки з них
• означення області допустимих значень змінних, виразу зі змінними (профільний рівень)
• означення котангенса числового аргументу (профільний рівень)

Лінійні, квадратні, раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння і нерівності. Системи лінійних рівнянь і нерівностей. Системи рівнянь, з яких хоча б одне рівняння другого степеня. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь та їх систем

• рівняння з однією змінною, означення кореня (розв’язку) рівняння з однією змінною
• нерівність з однією змінною, означення розв’язку нерівності з однією змінною
• означення розв’язку системи рівнянь, основні методи розв’язування систем
• методи розв’язування найпростіших раціональних, ірраціональних, показникових, логарифмічних, тригонометричних рівнянь та нескладних рівнянь, які зводяться до найпростіших
• методи розв’язування найпростіших лінійних, квадратних, раціональних, показникових, логарифмічних нерівностей та нескладних нерівностей, які зводяться до найпростіших
• методи розв’язування раціональних, ірраціональних, показникових, логарифмічних, тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем (профільний рівень)

Числові послідовності

• означення арифметичної та геометричної прогресій
• формули n-го члена арифметичної та геометричної прогресій
• формули суми n перших членів арифметичної та геометричної прогресій

Функціональна залежність. Лінійні, квадратні, степеневі, показникові, логарифмічні та тригонометричні функції, їх основні властивості

• означення функції, області визначення, області значень функції, графік функції
• способи задання функцій, основні властивості та графіки функцій, указаних у назві теми
• означення функції, оберненої до заданої (профільний рівень)
• властивості періодичних функцій (профільний рівень)

Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст. Таблиця похідних та правила диференціювання

• означення похідної функції в точці
• фізичний та геометричний зміст похідної
• таблиця похідних функцій
• правила знаходження похідної суми, добутку, частки двох функцій
• правило знаходження похідної складеної функції (профільний рівень)
• рівняння дотичної до графіка функції в точці (профільний рівень)

Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графіків функцій

• достатня умова зростання (спадання) функції на проміжку
• екстремуми функції
• означення найбільшого й найменшого значень функції

Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла для обчислення площ плоских фігур

• означення первісної функції, визначеного інтеграла, криволінійної трапеції
• таблиця первісних функцій
• правила знаходження первісних
• формула Ньютона – Лейбніца (профільний рівень)

Перестановки, комбінації, розміщення (без повторень). Комбінаторні правила суми та добутку. Імовірність випадкової події. Вибіркові характеристики

• означення перестановки, комбінації, розміщення (без повторень)
• комбінаторні правила суми та добутку
• класичне означення ймовірності події
• означення вибіркових характеристик рядів даних (розмаху вибірки, моди, медіани, середнього значення)
• графічна, таблична, текстова та інші форми подання статистичних даних

Елементарні геометричні фігури на площині та їх властивості

• поняття точки та прямої, променя, відрізка, ламаної, кута
• аксіоми планіметрії
• суміжні та вертикальні кути, бісектриса кута
• властивості суміжних та вертикальних кутів
• паралельні та перпендикулярні прямі
• відстань між паралельними прямими
• перпендикуляр і похила, серединний перпендикуляр, відстань від точки до прямої
• ознаки паралельності прямих
• теорема Фалеса, узагальнена теорема Фалеса

Коло та круг

• коло, круг та їх елементи
• центральні, вписані кути та їх властивості
• дотична до кола та її властивості
• властивості двох хорд, що перетинаються (профільний рівень)

Трикутники

• види трикутників та їх основні властивості
• ознаки рівності трикутників
• медіана, бісектриса, висота трикутника та їх властивості
• теорема про суму кутів трикутника
• нерівність трикутника
• середня лінія трикутника та її властивості
• коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник
• теорема Піфагора
• співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника
• теорема синусів
• теорема косинусів
• подібні трикутники, ознаки подібності трикутників
• пропорційні відрізки прямокутного трикутника (профільний рівень)
• відношення площ подібних фігур (профільний рівень)

Чотирикутники

• чотирикутник та його елементи
• паралелограм, його властивості й ознаки
• прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості
• трапеція, середня лінія трапеції та її властивості
• вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники
• сума кутів чотирикутника

Многокутники

• многокутник та його елементи
• периметр многокутника
• правильний многокутник та його властивості
• вписані в коло та описані навколо кола многокутники
• опуклий многокутник (профільний рівень)
• сума кутів опуклого многокутника (профільний рівень)

Геометричні величини та вимірювання їх

• довжина відрізка, кола та його дуги
• величина кута, вимірювання кутів
• формули для обчислення площ трикутника, паралелограма, ромба, квадрата, трапеції, правильного многокутника, круга, сектора
• площа сегмента (профільний рівень)

Координати та вектори на площині

• прямокутна система координат на площині, координати точки
• формула для обчислення відстані між двома точками та формула для обчислення координат середини відрізка
• рівняння прямої та кола
• поняття вектора, нульового вектора, модуля вектора
• колінеарні вектори, протилежні вектори, рівні вектори
• координати вектора
• додавання і віднімання векторів, множення вектора на число
• кут між векторами
• скалярний добуток векторів
• розклад вектора за двома неколінеарними векторами (профільний рівень)
• властивості скалярного добутку векторів (профільний рівень)
• формула для знаходження кута між векторами, що задані координатами (профільний рівень)
• умови колінеарності та перпендикулярності векторів, що задані координатами (профільний рівень)

Геометричні переміщення

• основні види та зміст геометричних переміщень на площині (рух, симетрія відносно точки та відносно прямої, поворот, паралельне перенесення)
• рівність фігур

Прямі та площини у просторі

• аксіоми та теореми стереометрії
• взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини в просторі, площин у просторі
• паралельність прямих, прямої та площини, площин
• паралельне проєктування
• перпендикулярність прямих, прямої та площини, двох площин
• теорема про три перпендикуляри
• відстань від точки до площини, від прямої до паралельної їй площини, між паралельними площинами
• кут між прямими, прямою та площиною, площинами
• двогранний кут, лінійний кут двогранного кута
• ознака мимобіжних прямих (профільний рівень)
• ортогональна проєкція (профільний рівень)
• відстань між мимобіжними прямими (профільний рівень)

Многогранники, тіла обертання

• многогранники та їх елементи, основні види многогранників: призма, паралелепіпед, піраміда, розгортка призми й піраміди
• тіла обертання, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, куля, сфера
• перерізи многогранників
• перерізи циліндра й конуса: осьові перерізи, перерізи площинами, паралельними їх основам
• переріз кулі площиною
• формули для обчислення площ поверхонь та об’ємів призми та піраміди
• формули для обчислення об’ємів циліндра, конуса, кулі
• формули для обчислення площі сфери
• зрізана піраміда (профільний рівень)
• зрізаний конус (профільний рівень)

Координати та вектори у просторі

• прямокутна система координат у просторі, координати точки
• формула для обчислення відстані між двома точками та формула для обчислення координат середини відрізка
• поняття вектор, модуль вектора, колінеарні вектори, рівні вектори, координати вектора
• додавання, віднімання векторів, множення вектора на число
• скалярний добуток векторів
• кут між векторами
• симетрія відносно початку координат та координатних площин
• рівняння сфери (профільний рівень)
• властивості скалярного добутку векторів (профільний рівень)
• формула для знаходження кута між векторами, що задані координатами (профільний рівень)
• умови колінеарності та перпендикулярності векторів, що задані координатами (профільний рівень)